Logica I - Examen Semestral, resultados por Alexandra Chen
3. Demuestre mediante tabla de verdad
la validez o invalidez del siguiente argumento: Si el auto tiene gasolina,
entonces iré a la tienda. Si voy a la tienda, entonces compraré un refresco. No
compro un refresco. Luego, el auto no tiene gasolina o la transmisión del auto
está defectuosa. (Simbolización-3 puntos, reducción-3 puntos,
tabla de verdad-6 puntos/ 12 puntos).
A.
Formalización
P: El auto tiene gasolina, Q: iré a la tienda,
R: Compraré un refresco, S: La transmisión del auto está defectuosa.
B. Reducción
P
→Q, Q →R, ¬R
⊨ ¬P∨S
C. Prueba
[(P→Q) ∧ (Q→R) ∧ ¬R] → ¬P∨S
|
[(P |
→ |
Q) |
∧ |
(Q |
→ |
R) |
∧ |
¬R] |
→ |
¬P |
∨ |
S |
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|
Resultado: Válido |
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4. Demuestre mediante árbol semántico la
validez o invalidez del siguiente argumento: Si hace una temperatura
agradable, y el cielo está despejado, entonces vamos a nadar y a pasear en bote.
No es verdad que, si el cielo está despejado, entonces vamos a nadar. Por lo
tanto, si no vamos a pasear en bote, entonces no hace una temperatura agradable.
(Simbolización-3 puntos, reducción-3 puntos, árbol-9
puntos/ 15 puntos).
A.
Formalización
A: Hace una temperatura agradable, B: El cielo está despejado,
C: Vamos a
nadar D: Vamos a pasear en bote.
B.
Reducción
(A ∧B) → (C
∧D),¬(B→C) ⊨ (¬D → ¬A)
|
1 |
¬(A˄B)
→ (C˄D)˄¬(B→C)→(¬D→¬A) |
Supuesto |
||||||||
|
2 |
A˄B |
FI 1 |
||||||||
|
3 |
¬[((C˄D)˄¬(B→C))→(¬D→¬A)]
|
FI 1 |
||||||||
|
4 |
(C˄D)˄¬(B→C) |
FI 3 |
||||||||
|
5 |
¬(¬D→¬A) |
FI 3 |
||||||||
|
6 |
C˄D |
VC 4 |
||||||||
|
7 |
¬(B→C) |
VC 4 |
||||||||
|
8 |
B |
FI 7 |
||||||||
|
9 |
¬C |
FI 7 |
||||||||
|
10 |
C |
VC 6 |
||||||||
|
11 |
D |
VC 6 |
||||||||
|
X Resultado: Válido |
||||||||||
5. Demuestre por vía directa (solo usar
reglas de inferencia/equivalencia) la validez del siguiente argumento: Si
U es un subespacio de V, entonces U es subconjunto de V; U contiene el valor
cero y es cerrado; U es un subconjunto de V, y si U es cerrado, entonces U
contiene al vector cero. Así, pues, si U es cerrado, entonces U es un
subespacio de V (Simbolización-3 puntos, reducción-3 puntos,
árbol-9 puntos/ 15 puntos).
A.
Simbolización
A: U es un subespacio de V, B: U es subconjunto de V,
C: U contiene valor cero D:
U es cerrado.
B.
Reducción
A →B, C ∧D,B ∧ (D →C) ⊢ D →A
|
1 |
A→B |
premisa |
|
2 |
C∧D |
premisa |
|
3 |
B∧(D→C) |
premisa |
|
4 |
¬A∨B |
IMPL 1 |
|
5 |
A |
MP 1,3 |
|
6 |
C |
SIMPL 2 |
|
7 |
D |
SIMPL 2 |
|
8 |
DvA |
AD 7,5 |
|
9 |
D→A |
IMPL 8 |
|
QED |
6. Demuestre por vía directa (solo usar
reglas de inferencia/equivalencia) la validez o invalidez del siguiente
argumento: Si estudio ciencias, entonces me preparo para vivir
desahogadamente, y si estudio humanidades, entonces me preparo para vivir
adecuadamente. Si me preparo para vivir adecuadamente, entonces mis años de
universidad están justificados. Pero mis años de universidad no están
justificados. Por tanto, no estudio ni ciencias ni humanidades. (Reducción-3
puntos; prueba-12 puntos/15 puntos).
A.
Simbolización
A:
Estudio ciencias, B: Me
preparo para vivir desahogadamente/adecuadamente,
C:
Estudio humanidades, D: Mis años de universidad están justificados.
B.
Reducción
(A→B) ˄ (C→B) , (B→D) , ¬D├ (¬A ˄ ¬C)
|
1 |
(A→B)
∧
(C→B) |
Premisa |
|
2 |
(B→D) |
Premisa |
|
3 |
¬D |
Premisa |
|
4 |
(C→B)
∧
(A→B) |
CONM 1 |
|
5 |
(A→B)
|
SIMPL 1 |
|
6 |
(C→B) |
SIMPL 4 |
|
7 |
(A
→D) |
SH 5,2 |
|
8 |
(C→D) |
SH 6,2 |
|
9 |
¬A |
MT 7,3 |
|
10 |
¬C |
MT 8,3 |
|
11 |
¬A
∧
¬C |
CONJ. 9, 10 |
|
QED |
7. Demuestre la validez o invalidez del
siguiente argumento mediante tabla de verdad: J ® (K ® L), K ® (ØL ® M), (L
Ú M) ® N ╞ J ® N
(Reducción-3 puntos, tabla-7 puntos/ 10 puntos).
|
(J |
→ |
(K |
→ |
L)) |
∧ |
(K |
→ |
(¬L |
→ |
M)) |
∧ |
((L |
∨ |
M) |
→ |
N) |
→ |
J |
→ |
N |
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Resultado: Inválido |
||||||||||||||||||||
8. Demuestre la validez o invalidez del
siguiente argumento mediante árbol semántico: P « (Q « ØR), Q ® (ØR Ú ØS), (R ® (Q Ú ØT)) Ù (P ® Q), (U
® (S Ù T)) Ù (T ® ØV), ((Q
Ù R) ® ØU) Ù (U ® (Q Ú R)),
(Q Ú V) ® ØV ╞ ØU Ù ØV
(Reducción-3 puntos; árbol-12 puntos/15 puntos).
(P↔(Q↔¬R))∧(Q→(¬R∨¬S))∧(R→(Q∨¬T))∧(P→Q)∧(U→(S∧T))∧(T→¬V)∧((Q∧R)→¬U)∧(U→(Q∨R))∧((Q∨V)→¬V)→(¬U∧¬V)
|
1 |
¬((P↔️(Q↔¬R))∧(Q→(¬R∨¬S))∧((R→(Q∨¬T))∧(P→Q))∧((U→(S∧T))∧(T→¬V))∧(((Q∧R)→¬U)∧(U→(Q∨R)))∧((Q∨V)→¬V))→(¬U∧¬V) |
supuesto |
|
|||||||||||||||
|
2 |
((P↔️(Q↔¬R))∧(Q→(¬R∨¬S))∧((R→(Q∨¬T))∧(P→Q))∧((U→(S∧T))∧(T→¬V))∧(((Q∧R)→¬U)∧(U→(Q∨R)))∧((Q∨V)→¬V)) |
FI
1 |
||||||||||||||||
|
3 |
¬(¬U∧¬V) |
FI
1 |
||||||||||||||||
|
4 |
|
5 |
||||||||||||||||
|
¬¬U |
FC3 |
¬¬V |
FC3 |
|||||||||||||||
|
6 |
7 |
|||||||||||||||||
|
U |
DN4 |
V |
DN5 |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
Argumento inválido
9. Demuestre mediante método de prueba
condicional la validez o invalidez del siguiente argumento: (ØX Ú ØY) ® (A ® (P Ù ØQ)), (ØX Ù ØR) ® ((P Ù ØQ) ® Z), (ØX Ù ØR) Ù (ØZ Ú A) ├ A ® Z (10 puntos).
|
1 |
(¬X
∨
¬Y) → (A → (P ∧
¬Q)) |
premisa |
|
2 |
(¬X
∧
¬R) → ((P ∧
¬Q) → Z) |
premisa |
|
3 |
(¬X
∧
¬R) ∧
(¬Z ∨
A) |
premisa |
|
4 |
A |
├ Z, CP |
|
5 |
(¬X
∧
¬R) |
SIMPL 3 |
|
6 |
¬X |
SIMPL 9 |
|
7 |
(¬X
∨
¬Y) |
AD 6 |
|
8 |
A
→ (P ∧
¬Q) |
MP 7,1 |
|
9 |
(P
∧
¬Q) |
MP 8,4 |
|
10 |
(¬R
∧
¬X) |
CONM 5 |
|
11 |
¬R |
SIMPL 10 |
|
12 |
(¬X
∧
¬R) |
CONJ 6,11 |
|
13 |
(P
∧
¬Q) → Z |
MP 12,2 |
|
14 |
Z |
MP 13,9 |
|
QED |
10. Demuestre mediante método de reducción
al absurdo la validez o invalidez del siguiente argumento: E ® (F Ù ØG), (F Ú G) ® H, E ├ H (10
puntos).
|
1 |
E
→ (F ∧
¬G) |
premisa |
||
|
2 |
(F
∨
G) → H |
premisa |
||
|
3 |
E |
premisa |
||
|
4 |
¬H |
RA |
||
|
5 |
¬(F
∨
G) ∨
H |
IMPL 2 |
||
|
6 |
¬(¬F
∨
G) ∨
H |
IMPL 5 |
||
|
7 |
¬(¬F
∧
G) ∧
¬H |
DE M 6 |
||
|
8 |
¬¬(¬F
∧
G) ∧
¬¬H |
DE M 7 |
||
|
9 |
(¬F
∧
G) ∧
H |
DN 8 |
||
|
10 |
¬F |
SIMPL 9 |
||
|
11 |
G |
SIMPL 9 |
||
|
12 |
H |
SIMPL 9 |
||
|
13 |
F
∧
¬G |
MP 1,3 |
||
|
14 |
F
∨
G |
MT 2,12 |
||
|
15 |
¬G |
SD 10, 13 |
||
|
16 |
G
˄ ¬G |
CONJ 11,15 |
||
|
QED |
||||
